Kolik Kirchhoffových rovnic by mělo být?

Zapojení rezistorů a zdrojů ve složitých obvodech nelze vždy redukovat na sadu sériových a paralelních zapojení. Pro výpočty složitých obvodů je vhodné použít Kirchhoffova pravidla.

Uzel V elektrickém obvodu budeme nazývat bod, kde se sbíhají alespoň tři vodiče. Proudy přibližující se k uzlu budeme považovat za kladné a proudy opouštějící uzel za záporné. Uzel nejsou desky kondenzátoru, kde může docházet k výrazné akumulaci náboje. To vede k prvnímu Kirchhoffovu pravidlu:

Kirchhoffovo první pravidlo

algebraický součet proudů v uzlu je roven nule.

Zavolá se úsek řetězce mezi dvěma uzly větev. Vezměme libovolný uzavřený okruh ve složitém řetězci, který se skládá z jednotlivých větví. Zvolme směr procházení vrstevnice ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. EMF v každé větvi obvodu bude považováno za kladné, pokud se směr jeho působení shoduje se zvoleným směrem obcházení obvodu, a jinak záporné. Pokles napětí (součin proudu a odporu) v kterékoli větvi obvodu bude považován za kladný, pokud se směr proudu v této větvi shoduje se směrem bypassu obvodu, jinak záporný. Zapsáním rovnice Ohmova zákona pro každou větev obvodu pro úsek obvodu obsahujícího EMF a sečtením všech rovnic získáme druhé Kirchhoffovo pravidlo:

Druhé Kirchhoffovo pravidlo

v libovolném uzavřeném obvodu libovolného elektrického obvodu je součet úbytků napětí ve všech větvích obvodu roven algebraickému součtu emf ve všech větvích obvodu.

Obě Kirchhoffova pravidla platí nejen pro časově konstantní hodnoty všech veličin obsažených v odpovídajících rovnicích, ale také pro jejich okamžité hodnoty.

Při sestavování rovnic podle Kirchhoffových pravidel se musíte držet následujících doporučení. Pokud řetězec obsahuje nn uzlů, pak podle prvního Kirchhoffova pravidla lze sestavit pouze n – 1 n–1 nezávislých rovnic. Při sestavování rovnic podle druhého Kirchhoffova pravidla je nutné zajistit, aby každý nový obvod obsahoval alespoň jednu dosud nepoužitou větev. Odchylka od těchto doporučení vede ke vzniku rovnic, které jsou důsledkem soustavy dříve sestavených rovnic. V procesu řešení takto „přeplněného“ systému může vzniknout identita 0 = 0 0=0, což mate řešitele z důvodu „mizení“ neznámých systému.

Obr. 18.1

Ve schématu na Obr. 18.1 Ei = 1 _1 = 4,2 B, E2 = 3,8 _2 = 3,8 V, R1 = R2 = 10 R_1 = R_2 = 10 Ohm, R3 = 45 R_3 = 45 Ohm. Najděte sílu a směr proudu ve všech částech obvodu. Uvažujme, že vnitřní odpory zdrojů jsou zahrnuty v R 1 R_1 a R 2 R_2.

Směry proudů nastavíme libovolně, například jak je znázorněno na Obr. 18.1.
K nalezení tří neznámých proudů je třeba sestavit tři nezávislé rovnice. V obvodu n = 2 n=2 uzly. Pomocí prvního Kirchhoffova pravidla sestavíme rovnici n – 1 = 1 n-1=1. Pro uzel “C”:

I 1 – I 2 + I 3 = 0 I_1-I_2+I_3=0 .

Sestavíme chybějící dvě rovnice podle druhého Kirchhoffova pravidla pro obrysy `ABCA` a `ABCDA`:

I 1 R 1 – I 3 R 3 = E 1 I_1R_1-I_3R_3= _1 , I 1 R 1 + I 2 R 2 = E 1 – E 2 I_1R_1+I_2R_2= _1- _2.

Řešení soustavy výsledných tří rovnic v obecném tvaru je pracné a dává těžkopádné výrazy pro proudy. Systém je vhodné řešit dosazením hodnot EMF a odporu do něj:

I 1 – I 2 + I 3 = 0 I_1-I_2+I_3=0, 10 I 1 – 45 I 2 = 4,2 10I_1-45I_2=4,2, 10 I 1 + 10 I 2 = 0,4 10I_1+ 10I_2=0,4

Řešením soustavy posledních tří rovnic zjistíme:

I1 = 0,06 I_1 = 0,06 A, I2 = – 0,02 I_2 = -0,02 A, I3 = – 0,08 I_3 = -0,08 A.

Záporné hodnoty proudů I 2 I_2 a I 3 I_3 naznačují, že směry jsou skutečné Tyto proudy jsou opačné než na obr. 18.1.